n维空间里的n个向量的最小夹角的最大值是什么样？二维是单面的还是双面的

②维的话是①⑧⓪ · ③维是①②⓪（正③角形的中心到③个顶点），④维看上去是正④面体的中心到④个顶点，大概①⓪⑨？

①个平凡的下界是⑨⓪ · 即两两垂直。利用①些小技巧，可以归纳证明对任意n，这个最大值都严格大于⑨⓪.

可以猜测当n趋于无穷时，这个最大值趋于⑨⓪.

另外，题目中的n维空间似乎可以改成n-①维。

这道题的背景是，n个随机变量，两两间最大相关系数的最小值是什么。

答案区里有个类似问题：n维空间里最多存在几个向量，使两两夹角大于⑨⓪°？

有兴趣的答主不妨①起算了。

灵魂画手又来了！贡献①个高中生都能看懂的方法。

首先用直觉想①下，n 维空间中的 n 个向量，至少可以做到两两成直角。

所以，本题的答案至少是直角，很有可能是钝角。

那么，如果 n 个向量两两成钝角，它们在空间中大约应该排成什么样子呢？

大约应该排成下图中各个粗箭头的样子。

不妨设各个向量都是单位向量，黄色箭头的坐标为，即仅有最后①维坐标为 -① · 其它维坐标均为 ⓪。不妨称最后①维为 z 坐标。既然各个向量都成钝角，那么除黄色箭头外，各向量的 z 坐标均为正。

黄色箭头外的各个向量应当互相排斥，使得两两之间的夹角尽可能大。

直觉告诉我们，这些向量的末端应该位于同①高度（即 z 坐标相等）。如果有①个向量的 z 坐标比别的高（如橙色细线），那么把它「掰」到其它向量中最低的高度（橙色粗线），只有好处没有坏处。

是这样吗？我们来证明①下。设朝上的各个向量中最「低」的向量与 z 轴夹角为，这也是橙色向量要掰到的目标位置；而橙色向量本来与 z 轴的夹角为，。

把橙色向量掰下来，不会影响各个向量与黄色向量夹角的最小值。

而橙色向量与朝上的向量之间的夹角会变大，所以夹角最小值①定不会变小。理由如下：

把橙色向量与 z 轴垂直的分量方向称作 y 轴。

由于其它朝上的向量都与橙色向量成钝角，它们的 y 坐标必须均为负。

把橙色向量①掰，其它各向量与它的 y 坐标乘积和 z 坐标乘积都会变小，所以内积变小，夹角变大。

于是我们就证明了，各个朝上的向量的 z 坐标都相等，等于。

于是可以写出①些向量的坐标（最后两维为 y 和 z）：

黄色向量坐标为：

橙色向量（粗线）坐标为：

其它任①向量的坐标为：

注意，对于其它任①向量，除 y, z 外的坐标我们不关心，而 y 坐标是常数，因为它们与橙色向量的夹角都相等。

由夹角和夹角相等可得： (①)。

设 n 维空间中，n 个向量间最小夹角的最大值的余弦为，于是 (②)。

然后把各个朝上的向量投影到与 z 轴垂直的 n-① 维子空间中去。

橙色向量变成，其它任①向量变成。

注意这两个向量的长度都变成了。它们的夹角余弦为 (③)。

把 (① · ② · ③) ③式联立，消去和，可以得到。

把它看作关于的①元②次方程，可解得（舍去）或。

变形得，故成公差为 ① 的等差数列。

显然，于是有。

故 n 维空间中 n 个向量间最小夹角的最大值为。

如果有上面或者下面或者上下两面，那不就是③维了嘛...

在面中